О некоторых классах подрешеток решетки всех подгрупп

Abstract

В настоящей статье G всегда обозначает группу. Если K и H – подгруппы группы G, где K – нормальная подгруппа группы H, то фактор-группа группы H по K называется секцией группы G. Такая секция является нормальной, если K и H – нормальные подгруппы группы G, и тривиальной, если K и H равны. Назовем произвольное множество S нормальных секций группы G расслоением группы G, если оно содержит каждую тривиальную нормальную секцию группы G, и будем говорить, что расслоение S группы G является G-замкнутым, если S содержит каждую такую нормальную секцию группы G, которая G-изоморфна некоторой нормальной секции группы G, принадлежащей множеству S. Пусть теперь S – произвольное G-замкнутое расслоение группы G и пусть L – множество всех таких подгрупп A группы G, что фактор-группа группы V по W, где V – нормальное замыкание A в G, а W – нормальное ядро A в G, принадлежит S. Опишем условия на S, при которых множество L является подрешеткой решетки всех подгрупп группы G, а также обсудим некоторые применения этой подрешетки в теории обобщенных конечных T-групп. In this paper G always denotes a group. If K and H are subgroups of G, where K is a normal subgroup of H, then the factor group of H by K is called a section of G. Such a section is called normal, if K and H are normal subgroups of G, and trivial, if K and H are equal. We call any set S of normal sections of G a stratification of G, if S contains every trivial normal section of G, and we say that a stratification S of G is G-closed, if S contains every such a normal section of G, which is G-isomorphic to some normal section of G belonging S. Now let S be any G-closed stratification of G, and let L be the set of all subgroups A of G such that the factor group of V by W, where V is the normal closure of A in G and W is the normal core of A in G, belongs to S. In this paper we describe the conditions on S under which the set L is a sublattice of the lattice of all subgroups of G and we also discuss some applications of this sublattice in the theory of generalized finite T-groups.