О решётках подгрупповых и подсистемных функторов

Abstract

Напомним, что мальцевским многообразием M называется многообразие универсальных алгебр, в которых любые две конгруэнции π и ϕ перестановочны, т. е. удовлетворяют условию πϕ = ϕπ. Все алгебры, рассматриваемые в данной работе, принадлежат некоторому фиксированному мальцевскому многообразию M. Пусть X — класс алгебр. Сопоставим каждой алгебре A ∈ X некоторый набор её подалгебр τ(A). Следуя [1], будем говорить, что τ — подсистемный функтор на X (или, иначе, τ — подсистемный X-функтор), если выполняются следующие условия: (1) A ∈ τ(A) для каждой алгебры A ∈ X; (2) для всяких двух алгебр H ∈ τ(A), T ∈ τ(B) (где A ∈ X и B ∈ X), и любого эпиморфизма ϕ : A → B имеют место Hϕ ∈ τ(B) и T ϕ−1 ∈ τ(A). В случае, когда X — некоторый класс групп, подсистемные X-функторы называются подгрупповыми функторами на X. Понятие подсистемного функтора оказалось полезным при изучении внутреннего строения алгебр, а также в исследованиях по общей теории классов (см., напр., [1–12]). В данной работе это понятие применяется как инструмент для построения двух типов дистрибутивных, но не булевых решёток и, в частности, для анализа новых методов построения гейтинговых решёток.