О максимальных подгруппах конечных групп

Abstract

В 1986 году В.А. Ведерников доказал, что если M – не нормальная максимальная подгруппа конечной разрешимой группы G, то M содержит нормализатор некоторой силовской подгруппы группы G. В статье доказано следующее обобщение теоремы В.А. Ведерникова. Теорема. Пусть G – π-разрешимая конечная группа. Пусть M – такая не нормальная максимальная подгруппа группы G, что | G : M | – степень простого числа p из π. Пусть H – некоторая холлова подгруппа из M такая, что p не делит | H |, причем либо |π(H)∩π’| ≤ 1, либо | M : H | – π-число. Если ядро подгруппы HMɢ / Mɢ в M / Mɢ не равно 1, то Nɢ(H) содержится в M. Здесь Mɢ – ядро M в G, т. е. наибольшая нормальная подгруппа из G, содержащаяся в M; π(H) – множество всех простых делителей | H |. In 1986 V.A. Vedernikov proved that if M is a non-normal maximal subgroup of a finite soluble group G, then M contains a normalizer of some Sylow subgroup of G. In the paper the following generalization of Vedernikov’s result is proved. Theorem. Let G be a π-soluble finite group. Let M be a non-normal maximal subgroup of G such that | G : M | is a power of a prime p in π. Let H be a Hall subgroup in M such that p does not divide | H |, and either |π(H)∩π’| ≤ 1 or | M : H | is a π-number. If the core of HMɢ / Mɢ in M / Mɢ is not equal to 1, then Nɢ(H) is contained in M. Here Mɢ is the core of M in G, i. e., the largest normal subgroup in G contained in M; π(H) is the set of prime divisors of | H |.