Глобальная теорема корректности первой смешанной задачи для общего телеграфного уравнения с переменными коэффициентами на отрезке

Abstract

Глобальная теорема корректности по Адамару первой смешанной задачи для неоднородного общего телеграфного уравнения со всеми переменными коэффициентами в полуполосе плоскости доказана новым методом вспомогательных смешанных задач. Без явных продолжений данных смешанной задачи за пределы множества их задания выведены рекуррентные формулы типа Римана единственного и устойчивого классического решения для первой смешанной задачи на отрезке. Эта полуполоса плоскости разделена криволинейными характеристиками телеграфного уравнения на прямоугольники одинаковой высоты, а каждый прямоугольник – на три треугольника. Критерий корректности состоит из требований гладкости и условий согласования на правые части уравнения, начальных и граничных условий смешанной задачи. Требования гладкости необходимы и достаточны для дважды непрерывной дифференцируемости решения в этих треугольниках. Условия согласования вместе с требованиями гладкости необходимы и достаточны для дважды непрерывной дифференцируемости решения на неявных характеристиках в этих прямоугольниках. The global theorem to Hadamard correctness to the first mixed problem for inhomogeneous general telegraph equation with all variable coefficients in a half-strip of the plane is proved by a novel method of auxiliary mixed problems. Without explicit continuations of the mixed problem data outside set of mixed task assignments the recurrent Riemann-type formulas of a unique and stable classical solution for the first mixed problem on a segment are derived. This half-strip of the plane is divided by the curvilinear characteristics of a telegraph equation into rectangles of the same height, and each rectangle into three triangles. The correctness criterion consists of smoothness requirements and matching conditions on the right-hand side of the equation, initial and boundary conditions of the mixed problem. The smoothness requirements are necessary and sufficient for twice continuous differentiability of the solution in these triangles. The matching conditions together with these smoothness requirements are necessary and sufficient for twice continuous differentiability of solution on the implicit characteristics in these rectangles.