Об одном вопросе А.Н. Скибы в теории σ-свойств конечных групп

Abstract

Все рассматриваемые группы конечны. Пусть G – группа, σ– некоторое разбиение множества всех простых чисел P, то есть σ={σᵢ | i ∈I }, где P=⋃ᵢ∈σᵢ и σᵢ ᴖ σj=⌀ для всех i ≠ j, σ(G)= {σᵢ |σᵢ ᴖπ(|G|)≠⌀}. Группа G называется σ-примарной, если G является σᵢ -группой для некоторого i= i(G). Мы говорим, что G является σ-башенной группой, если либо G=1, либо G имеет нормальный ряд 1=G₀ < G₁ <•••<Gn₋₁<Gn=G такой, что Gᴋ / Gᴋ₋₁ – σᵢ -группа, σᵢ ∈σ(G), а G / Gk и Gk₋₁ являются σᵢ -группами для всех k=1,..., n. Подгруппа A группы G называется σ-субнормальной в G, если существует ряд подгрупп A =A₀ ≤ A₁ ≤ ••• ≤ Aᵼ=G такой, что либо Aᵢ₋₁ ⊴ Aᵢ, либо факторгруппа Aᵢ /(Aᵢ₋₁ )ᴀᵢ является σ-примарной, для всех i=1,...,t. В данной статье мы доказываем, что неединичная разрешимая группа G является σ-башенной группой, если для каждого σᵢ ∈σ(G), где |σ(G)| =n, холлова σᵢ-подгруппа группы G сверхразрешима и каждая (n+1) -максимальная подгруппа группы G σ-субнормальна в G. Тем самым мы даем положительный ответ на вопрос 4.8 из [1] в классе всех разрешимых групп со сверхразрешимыми σ-холовыми подгруппами. . All considered groups are finite. Let G be a group, σ some partition of the set of all primes P, i. e. σ={σᵢ | i ∈I }, where P=⋃ᵢ∈σᵢ and σᵢ ᴖ σj=⌀ for all i ≠ j, σ(G)= {σᵢ |σᵢ ᴖπ(| G)≠⌀}. A group G is called σ-primary if G is a σᵢ -group for some i= i(G). We say that G is a σ-tower group if either G=1 or G has a normal series 1=G₀ < G₁ <•••<Gn₋₁<Gn=G such that Gᴋ / Gᴋ₋₁ is σᵢ -group, σᵢ ∈σ(G), while G / Gk and Gk₋₁ are σ -groups for all k=1,..., n. A subgroup A of G is said to be σ-subnormal in G if there is a subgroup chain A =A₀ ≤ A₁ ≤ ••• ≤ Aᵼ=G such that either Aᵢ₋₁ ⊴ Aᵢ or Aᵢ /(Aᵢ₋₁ )ᴀᵢ is σ-primary for all i=1,...,t. In this article, we prove that a non-identity soluble group G is a σ-tower group if for each σᵢ ∈σ(G), where |σ(G)| =n, a Hall σᵢ -subgroup of G is supersoluble and every (n+1) -maximal subgroups of G is σ-subnormal in G. Thus, we give a positive answer to Question 4.8 in [1] in the class of all soluble groups with supersoluble σ-Hall subgroups.