Слабые решения гиперболических дифференциально-операторных уравнений четных порядков с переменными областями определения

Abstract

В работе доказаны теоремы существования и единственности слабых решений u(t)∈ L₂(]0,T[,H) граничной задачи для двучленного гиперболического дифференциально-операторного уравнения произвольного четного порядка с неограниченным операторным коэффициентом A(t), имеющим зависящую от t область определения D(А(t)). Показано, что для более гладких правых частей слабые решения этой граничной задачи становятся гладкими, т. е. удовлетворяют уравнению почти всюду на ]0,T[ в H и граничным условиям в обычном смысле. Приведен пример новой корректной краевой задачи для уравнения в частных производных четвертого порядка при нестационарных граничных условиях по пространственной переменной. We prove the existence and uniqueness of weak solutions u(t)∈ L₂(]0,T[,H) of boundary value problem for a two-term evenorder hyperbolic operator-differential equation with unbounded operator coefficient A(t), having t-depending domain D(А(t)). It is shown that for a smooth right-hand part the weak solutions of boundary value problem are smooth, i. e. they satisfy the equation almost everywhere on ]0,T[ in H and the boundary conditions in the usual sense. An example of the new correct boundary value problem for fourth-order partial differential equation with unsteady boundary conditions on the space variables is given.