Периодические и почти периодические решения уравнений Риккати с линейной отражающей функцией

Abstract

Исследуется уравнение Риккати с помощью метода отражающей функции Мироненко. Предварительно осуществляется построение класса уравнений Риккати, обладающих отражающей функцией определенного вида. В этом направлении, в частности, найдены необходимые и достаточные условия того, чтобы уравнение Риккати имело линейную по фазовой переменной отражающую функцию. Эти условия носят конструктивный характер, поскольку на их основе получена формула, которая выражает линейную по фазовой переменной отражающую функцию через коэффициенты уравнения Риккати. Дополнительно исследована зависимость между свойством четности (нечетности) коэффициентов уравнения Риккати и наличием у него линейной по фазовой переменной отражающей функции. Применение метода отражающей функции Мироненко к построенному классу уравнений Риккати позволило установить достаточные условия, при выполнении которых все его решения являются периодическими либо почти периодическими. Найден признак отсутствия периодических решений у почти периодических уравнений Риккати. Приведен пример квазипериодического уравнения Риккати с квазипериодической отражающей функцией, которое имеет периодическое решение. = The method of Mironenko’s reflecting function is used for investigation of Riccati equations. The class of Riccati equations with certain-type reflecting function has been preliminarily constructed. The necessary and sufficient conditions, under which the Riccati equation would have a reflecting function linear in phase variable, are proved. These conditions are constructive in nature, since on their basis the formula is obtained, which shows the linear in phase variable reflecting function in terms of the coefficients of the Riccati equation. Additionally, the relationship between the parity (oddness) property of the coefficients of the Riccati equation and the existence of a reflecting function linear in phase variable is investigated. The application of the method of Mironenko’s reflecting function to the constructed class of Riccati equations revealed sufficient conditions, under which all its solutions are periodic or almost periodic. A sign of no periodic solutions for almost periodic Riccati equations is obtained. An example of the quasi-periodic Riccati equation with quasi-periodic reflecting function, which has a periodic solution, is given.