Нерегуляризуемость задачи Дирихле для одной бигармонической системы в ℝ⁴

Abstract

Линейную однородную систему p дифференциальных уравнений первого порядка в ℝd назовем бигармонической, если каждая компонента произвольного ее непрерывно дифференцируемого решения удовлетворяет уравнению ∆²u = 0, где ∆ – оператор Лапласа в ℝd. В настоящей статье приводится пример бигармонической системы в ℝ⁴, не являющейся ни четырехмерным аналогом системы Коши – Римана, ни эллиптической псевдосимметрической системой. Для этой системы рассматривается задача Дирихле в произвольной ограниченной области с достаточно гладкой границей. Доказывается, что в некоторой точке границы ранг матрицы Лопатинского задачи Дирихле не является максимальным. Также показывается, что в этой точке предельная задача для рассматриваемой задачи Дирихле не является однозначно разрешимой. = A linear homogeneous system of p first order differential equations in ℝd is called biharmonic if each component of its arbitrary continuously differentiable solution satisfies the equation ∆²u = 0, where ∆ is the Laplace operator in ℝd. In this article we give an example of a biharmonic system in ℝ⁴, which is neither a four-dimensional analogue of the Cauchy – Riemann system nor an elliptic pseudo-symmetric system. For this system we consider the Dirichlet problem in an arbitrary bounded region with a sufficiently smooth boundary. It is proved that at some point of the boundary the rank of the Lopatinski matrix of the Dirichlet problem is not maximal. It is also shown that at this point the limit problem for the considered Dirichlet problem is not uniquely solvable.