Об одном обобщении σ -локальных и Бэра-локальных формаций

Abstract

Все рассматриваемые в работе группы конечны, и G – конечная группа. Пусть σ = {σᵢ | i ∈ I} – некоторое разбиение множества всех простых чисел ℙ. Тогда σ (G ) = {σᵢ | σᵢ ∩π (G) ≠⌀ }; σ+(G) = {σᵢ | G содержит главный фактор H / K, такой что σ (H / K) = {σᵢ }}. Группа G называется: σ -примарной, если G – σi -группа для некоторого i; σ -разрешимой, если каждый главный фактор из G является σ -примарным. Символ Rσ (G) обозначает произведение всех нормальных σ -разрешимых подгрупп из G. Главный фактор H / K из G называется: σ -центральным (в G), если произведение ( H / K) × ( G / Gɢ (H / K)) является σ -примарным; σi -фактором, если H / K – σi -группа. Мы говорим, что G: σ -нильпотентна, если каждый главный фактор из G σ -централен; обобщенно {σi } -нильпотентна, если каждый главный σi -фактор из G σ -централен. Символ F{gσi } (G) обозначает произведение всех нормальных обобщенно {σi } -нильпотентных подгрупп из G. Мы называем произвольную функцию f вида f : σ∪{⌀} → {формации групп}, где f (⌀) ≠ ⌀, обобщенно формационной σ -функцией и полагаем BLFσ (f) = (G | G / Rσ (G) ∈ f (⌀) и G / F {gσi} (G) ∈ f (σi) для всех σi ∈ σ+ (G)). Если для некоторой обобщенно формационной σ -функции f имеет место F = BLFσ (f), то мы говорим, что класс F является Бэра- σ -локальным и f – обобщенно σ -локальное определение F. В данной работе описываются основные свойства, примеры и некоторые приложения Бэра- σ -локальных формаций. Throughout this paper, all groups are finite and G is a group. Let σ = {σᵢ | i ∈ I} be some partition of the set of all primes ℙ. Then σ (G ) = {σᵢ | σᵢ ∩π (G) ≠ ⌀ }; σ+(G) = {σᵢ | G has a chief factor H / K such that σ (H / K) = {σᵢ }}. The group G is said to be: σ -primary if G is σᵢ -group for some i; σ -soluble if every chief factor of G is σ -primary. The symbol Rσ(G) denotes the product of all normal σ -soluble subgroups of G. The chief factor H / K of G is said to be: σ -central (in G) if (H / K) × (G / Gɢ (H / K)) is σ -primary; a σi -factor if H / K is a σi -group. We say that G is: σ -nilpotent if every chief factor of G is σ -central; generalized {σi } -nilpotent if every chief σi -factor of G is σ -central. The symbol F{gσi} (G) denotes the product of all normal generalized {σi} -nilpotent subgroups of G. We call any function f of the form f : σ∪{⌀} → {formations of groups}, where f (⌀) ≠ ⌀, a generalized formation σ -function and we put BLFσ (f) = (G | G / Rσ (G) ∈ f (⌀) and G / F {gσi} (G) ∈ f (σi) for all σi ∈σ+ (G)). If for some generalized formation σ -function f we have F = BLFσ (f), then we say that the class F is Baer- σ -local and f is a generalized σ -local definition of F. In this paper, we describe basic properties, examples, and some applications of Baer-σ -local formations.