Об одной характеризации подгруппы Фраттини конечной разрешимой группы

Abstract

Пусть G — конечная разрешимая группа, n — длина некоторого G-главного ряда группы F (G)/Φ(G), а k — число центральных G-главных факторов этого ряда. В статье доказано, что тогда в G существуют 4n− 3k максимальные подгруппы, пересечение которых равно Φ(G). Это утверждение уточняет результат В. С. Монахова о том, что для любой конечной разрешимой ненильпотентной группы G ее подгруппа Фраттини Φ(G) совпадает с пересечением всех максимальных подгрупп M группы G таких, что MF (G) = G. Кроме того, в теореме 4.2 показывается, что в группе G существуют 4(n − k) максимальные подгруппы, пересечение которых равно δ(G). Подгруппа δ(G) определяется как пересечение всех абнормальных максимальных подгрупп группы G, если группа не нильпотентна, и как G, если она нильпотентна. Suppose that G is a finite solvable group, n is the length of a G-chief series of the group F (G)/Φ(G), and k is the number of central G-chief factors of this series. We prove that in this case G contains 4n − 3k maximal subgroups whose intersection is Φ(G). This result refines V. S. Monakhov’s statement that, for any finite solvable nonnilpotent group G, its Frattini subgroup Φ(G) coincides with the intersection of all maximal subgroups M of the group G such that MF (G) = G. In addition, it is shown in Theorem 4.2 that the group G contains 4(n − k) maximal subgroups whose intersection is δ(G). The subgroup δ(G) is defined as the intersection of all abnormal maximal subgroups of G if G is not nilpotent and as G otherwise.