Об одном обобщении локальных формаций

Abstract

Все рассматриваемые в работе группы предполагаются конечными. Пусть σ= {σi I iϵ1} – некоторое разбиение множества всех простых чисел ℙ. Натуральные числа n и m называются σ -взаимно простыми, если для всякого такого σi, что σi ∩π(n) ≠ ∅, мы имеем σi ∩π(m) = ∅. Пусть t >1 – натуральное число и пусть F– класс групп. Тогда мы говорим, что F является: (i) Stσ -замкнутым (соответственно слабо Stσ -замкнутым), если F содержит всякую конечную группу G, удовлетворяющую следующим условиям: (1) G содержит такие подгруппы A₁,…,At ∈ F, что G=AiAj для всех i≠j; (2) индексы | G : NG(A₁) |,...,| G : NG(At) | (соответственно индексы | G : A₁ |,...,| G : At-₁) |, | G : NG(At) |) попарно σ -взаимно просты; (ii) Mtσ -замкнутым (соответственно слабо Mt σ -замкнутым), если F содержит всякую конечную группу G, удовлетворяющую следующим условиям: (1) G содержит такие модулярные подгруппы A₁,…,At ∈ F, что G=AiAj для всех i≠j; (2) индексы | G : NG(A₁) |,...,| G : NG(At) | (соответственно индексы | G : A₁ |,...,| G : At-₁) |, | G : NG(At) |) попарно σ -взаимно просты. В работе изучаются свойства и приложения (слабо) Stσ -замкнутых и (слабо) Mtσ -замкнутых классов конечных групп.

Throughout this paper, all groups are finite. Let σ= {σi I iϵ1} be some partition of the set of all primes ℙ. The natural numbers n and m are called σ -coprime if for every σi such that σi ∩π(n) ≠ ∅ we have σi ∩π(m) = ∅. Let 1> t be a natural number and let F be a class of groups. Then we say that F is: (i) Stσ -closed (respectively weakly Stσ -closed) provided F contains each finite group G which satisfies the following conditions: (1) G has subgroups A₁,…,At ∈ F, such that G=AiAj for all i≠j. (2) The indices | G : NG(A₁) |,...,| G : NG(At) | (respectively the indices | G : A₁ |,...,| G : At-₁) |, | G : NG(At) |) are pair-wise σ -coprime); (ii) Mtσ -closed(respectively weakly Mtσ -closed) provided Fcontains each finite group G which satisfies the following conditions: (1) G has modular subgroups A₁,…,At ∈ F such that G=AiAj for all i≠j; (2) The indices | G : NG(A₁) |,...,| G : NG(At) | (respectively the indices | G : A₁ |,...,| G : At-₁) |, | G : NG(At) |) are pairwise σ -coprime. In this paper, we study properties and applications of (weakly) Stσ -closed and (weakly) Mtσ -closed classes of finite groups.