Критерии π-специальности, мета-π-специальности и (1, π΄) -сверхразрешимости конечной группы

Abstract

На протяжении всей статьи все группы конечны и G всегда обозначает конечную группу; ℙ – множество всех простых чисел, π ⊆ ℙ и π΄⊆ ℙ \ π. Группа G называется: (i) π-специальной, если G = O⍴₁(G)x...xO⍴₁(G)xOπ΄(G) для некоторых p₁,..., pt ∊π; (ii) мета-π-специальной, если для некоторой нормальной подгруппы N группы G обе группы N и G / N являются π-специальными. Подгруппа A группы G называется (1, π΄) -субнормальной в G, если существует цепь подгрупп A = А₀ ≤ А₁ ≤ ... ≤ А₁ = G такая, что либо Ai-₁⊴ Ai, либо секция Аi / (Ai-₁)Ai является π΄-группой. В данной работе мы доказываем новые критерии π-специальности, мета-π-специальности и сверхразрешимости группы. В частности, мы доказываем, что группа G является: (i) π-специальной, если каждая максимальная подгруппа группы G имеет (1, π΄) -субнормальное дополнение в G; (ii) сверхразрешимой, если каждая вторая максимальная подгруппа группы G имеет субнормальное дополнение в G; (iii) мета-π-специальной, если каждая третья максимальная подгруппа группы G имеет (1, π΄) -субнормальное дополнение в G. = Throughout this article, all groups are finite, and G always denotes a finite group; ℙ is the set of all primes, π ⊆ ℙ and π΄⊆ ℙ \ π. A group G is called: (i) π-special if G = O⍴₁(G)x...xO⍴₁(G)xOπ΄(G) for some p₁,..., pt ∊π; (ii) meta-π-special if for some normal subgroup N of G both groups N and G / N are π-special. A subgroup A of G is called (1, π΄) -subnormal in G if there is a subgroup chain A = А₀ ≤ А₁ ≤ ... ≤ А₁ = G such that either Ai-₁⊴ Ai, or the section Аi / (Ai-₁)Ai is a π΄ -group. In this paper we prove new criteria for π-speciality, meta-π-speciality, and supersolvability of a group. In particular, we prove that a group G is: (i) π-special if every maximal subgroup of G has a (1, π΄) -subnormal complement in G; (ii) supersolvable if every second maximal subgroup of G has a subnormal complement in G; (iii) meta-π-special if every third maximal subgroup of G has a (1, ) (1, π΄) -subnormal complement in G.