О σ𝔉 -свойствах конечных групп I

Abstract

В данной работе все группы конечны, G всегда обозначает конечную группу.  -Парой называется всякая пара   , , где       { {0} } i∣i I I – некоторое разбиение множества всех простых чисел и  – полный (в смысле Виландта) класс 0 -групп, содержащий все разрешимые 0 -группы. Группа G называется: (i)  -примарной, если G является i -группой для некоторого i I  и , G  если 0; i  (ii)  -нильпотентной, если каждый главный фактор H / K группы G является  -центральным в G, т. е. полупрямое произведение ( / ) ( / ( / )) H K G C H K  G является  -примарным; (iii)  -разрешимой, если каждый главный фактор группы G является  -примарным. Под  -свойством группы мы понимаем любое из ее свойств, зависящее от  и не подразумевающее никаких ограничений на .  В данной работе мы разрабатываем новый аспект теории  -свойств, связанный с приложениями  -пар. В частности, на множестве всех  -пар мы определяем частичный порядок  и доказываем, что если { } j      j ∣ j J – множество всех  -пар таких, что каждая группа в X является j j  -нильпотентной (соответственно, j j  -разрешимой) для всех j, то относительно  существует наименьший элемент в. = In this paper all groups are finite, G always denotes a finite group. A  -pair is any pair , ,   where        { {0} } i∣i I I  is some partition of the set of all primes and  is a complete (in the sence of Wielandt) class of 0 -groups which contains all soluble 0 -groups. A group G is said to be: (i)  -primary provided G is a i -group for some i I  and G if 0; i  (ii)  -nilpotent if every chief factor / H K of G is  -central in G, that is, the semidirect ( / ) ( / ( / )) H K G C H K  G is  -primary; (iii)  -soluble if every chief factor of G is  -primary. By a  -property of a group we mean any of its properties, that depends on  and which does not imply any restrictions on . In this paper, we develop a new aspect of the theory of  -properties related to applications of  -pairs. In particular, on the set of all  -pairs we define a partial order  and we prove that if { } j      j ∣ j J is the set of all  -pairs such that every group in X is j j  -nilpotent (respectively, j j  -soluble) for all j, then with respect to  there exists the least element in.