О централизаторе σ -нильпотентного корадикала σ -субнормальной подгруппы

Abstract

На протяжении всей статьи все группы конечны и G всегда обозначает конечную группу. Более того, σ является некоторым разбиением множества всех простых чисел ℙ, т. е. σ = {σᵢ | i ∈ I}, где ℙ = ⋃ᵢ∊I σᵢ и σᵢ ∩ σj = ∅ для всех i ≠ j. Группа G называется: σ -примарной, если G является σᵢ -группой для некоторого i; σ -нильпотентной, если каждый главный фактор H / K в G является σ -центральным в G, т. е. (H / K) ⋊ (G / Gɢ (H / K)) является σ -примарным. Символ Gᶰσ обозначает σ -нильпотентный корадикал группы G, т. е. пересечение всех нормальных подгрупп N в G таких, что G / N является σ -нильпотентной группой; Zσ (G) – это σ -нильпотентный гиперцентр в G, т. е. произведение всех нормальных подгрупп N в G таких, что либо N = 1, либо N ≠ 1 и каждый главный фактор G ниже N является σ -центральным в G. Подгруппа A в G называется σ -субнормальной в G, если имеется цепь подгрупп A = A₀ ≤ A₁ ≤ ... ≤ An = G, такая, что либо Aᵢ₋₁ ⊴ Aᵢ, либо Aᵢ / (Aᵢ₋₁)Aᵢ является σ -примарной для всех i = 1,...,n. В данной статье мы докажем, что если S является σ -субнормальной подгруппой в G и Zσ (E) = 1 для каждой подгруппы E в G такой, что , S ≤ E тогда Gɢ (Sᶰσ) ≤ Sᶰσ. Throughout this paper, all groups are finite and G always denotes a finite group. Moreover, σ is some partition of the set of all primes ℙ, that is, σ = {σᵢ | i ∈ I}, where ℙ = ⋃ᵢ∊I σᵢ and σᵢ ∩ σj = ∅ for all i ≠ j. The group G is said to be: σ -primary if G is a σᵢ -group for some i; σ -nilpotent if every chief factor H / K of G is σ -central in G, that is, (H / K) ⋊ (G / Gɢ (H / K)) is σ -primary. The symbol Gᶰσ denotes the σ -nilpotent residual of G, that is, the the intersection of all normal subgroups N of G such that G / N is σ -nilpotent; Zσ (G) is the σ -nilpotent hypercentre of G, that is, the product of all normal subgroups N of G such that either N = 1 of N ≠ 1 and every chief factor of G below N is σ -central in G. A subgroup A of G is said to be σ -subnormal in G if there is a subgroup chain A = A₀ ≤ A₁ ≤ ... ≤ An = G such that either Aᵢ₋₁ ⊴ Aᵢ or Aᵢ / (Aᵢ₋₁)Aᵢ is σ -primary for all i = 1,...,n. In this paper, we prove that if S be a σ -subnormal subgroup of G and Zσ (E) = 1 for every subgroup E of G such that S ≤ E, then Gɢ (Sᶰσ) ≤ Sᶰσ.