О σᵢ -длине конечной σ -разрешимой группы

Abstract

Пусть σ = {σᵢ | i∊ I} некоторое разбиение множества всех простых чисел ℙ и G – конечная группа. G называется σ -разрешимой, если каждый главный фактор H / K G – это σᵢ -группа для некоторого i = i (H / K). Мы доказываем следующую теорему. Теорема. (i) Если G – π -отделимая группа, H – нильпотентная холлова π -подгруппа и E – π -дополнение группы G со свойством EX = XE для некоторой подгруппы X в H такой, что, H΄≤ X ≤ Ф (H), тогда lπ (G) ≤ 1. (ii) Если G – σ -разрешимая группа и {H₁,...,Hᵼ} – виландтов σ -базис группы G такой, что Hᵢ перестановочна с Hj для всех i, j, тогда lσᵢ (G) ≤ 1 для всех i. (iii) Если G – σ -разрешимая группа и {H₁,...,Hᵼ} – виландтов σ -базис группы G такой, что Hᵢ перестановочна с Ф(Hj) для всех i, j, тогда lσᵢ (G) ≤1 для всех i. (iv) Если lπ (G) ≤ 1, то QX = XQ для каждой характеристической подгруппы X группы H и любой силовской подгруппы Q в G такая, что HQ = QH. (v) Если G – σ -разрешимая группа с lσᵢ (G) ≤1 для всех i и {H₁,...,Hᵼ} является σ -базисом G, тогда каждая характеристическая подгруппа группы Hᵢ перестановочна с каждой характеристической подгруппой группы Hj. Let σ = {σᵢ | i∊ I} be some partition of the set of all primes ℙ and G a finite group. G is said to be σ -soluble if every chief factor H / K of G is a σᵢ -group for some i = i (H / K). We prove the following Theorem. (i) If G is π -separable, H is a nilpotent Hall π -subgroup and E a π -complement of G such that EX = XE for some subgroup X of H such that H΄≤ X ≤ Ф (H), then lπ (G) ≤ 1. (ii) If G is σ -soluble and {H₁,...,Hᵼ} is a Wielandt σ -basis of G such that Hᵢ permutes with Hj for all i, j, then lσᵢ (G) ≤1 for all i. (iii) If G is σ -soluble and {H₁,...,Hᵼ} is a Wielandt σ -basis of G such that of Hᵢ permutes with Ф (Hj) for all i, j, then lσᵢ (G) ≤1 for all i. (iv) If lπ (G) ≤1 then QX = XQ each characteristic subgroup X of H and any Sylow subgroup Q of G such that HQ = QH. (v) If G is σ -soluble with lσᵢ (G) ≤1 for all i and {H₁,...,Hᵼ} is a σ -basis of G, then each characteristic subgroup of Hᵢ permutes with each characteristic subgroup of Hj.