Условия наличия рациональных интегралов дифференциального уравнения третьего порядка с рациональной правой частью

Abstract

Объектом исследования является нелинейное дифференциальное уравнение третьего порядка с рациональной правой частью. Цель работы – нахождение необходимых и достаточных условий существования первых интегралов определенного вида у рассматриваемого уравнения и изучение аналитических свойств полученных первых интегралов. В основной части получены необходимые и достаточные условия наличия первых интегралов рассматриваемого нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка с рациональной правой частью. Для этих дифференциальных уравнений приведены вычеты и соответствующие им резонансы, а также корни характе-ристического уравнения. The object of study is a nonlinear third-order differential equation with a rational right side. The goal of the study is to find the necessary and sufficient conditions for the existence of the first integrals of the equation and to study the analytical properties of the obtained first integrals. Introduction contains the object of study and the equations for residues and resonances of the equation, as well as the characteristic equation, relations connecting the roots of the characteristic equation and some coefficients of the given differential equation of the third order. The main part contains necessary and sufficient conditions for the existence of the first integrals of the given nonlinear differential equation of the third order with rational right side. For these differential equations residues and roots of the characteristic equation are given. The obtained results can be used in the analytical theory of the ordinary differential equations.