О конечных полу-p-разложимых группах

Abstract

Конечная группа G называется p-разложимой, если G =Оp'(G)xОp(G). Будем говорить, что конечная группа G полу-p-разложима, если нормализатор каждой ненормальной p-разложимой подгруппы группы G p-разложим. Доказана следующая: Теорема. Предположим, что конечная группа G полу-p-разложима. Если силовская р-подгруппа P группы G не является нормальной в G, то выполняются следующие условия: (i) G является p-разрешимой и имеет нормальную холловскую p' -подгруппу H. (ii) G/F(G) p-разложима. (iii) Оp'(G)xОp(G)= HxZ∞(G) – максимальная p-разложимая подгруппа группы G, а G/H x Z∞ (G) – абелева.

A finite group G is called p-decomposable if G=Оp'(G)xОp(G). We say that a finite group G is semi-p-decomposable if the normalizer of every non-normal p-decomposable subgroup of G is p-ecomposable. We prove the following Theorem. Suppose that a finite group G is semi-p-decomposable. If a Sylow p-subgroup P of G is not normal in G, then the following conditions hold: (i) G is p-soluble and G has a normal Hall p' -subgroup H. (ii) G/F(G) is p-decomposable. (iii) Оp'(G)xОp(G)= H x Z∞(G) is a maximal p-decomposable subgroup of G, and G/H Z∞(G) is abelian.