О парах Локетта и гипотезе Локетта для σ -локальных классов Фиттинга

Abstract

Для каждого непустого класса Фиттинга 𝔉 Локетт определил наименьший класс Фиттинга 𝔉*, содержащий 𝔉, такой, что (G ×H)𝔉 ͓ = G𝔉 ͓ × H𝔉 ͓ для всех групп G и H, и класс Фиттинга 𝔉 ͓ как пересечение всех непустых классов Фиттинга Ӿ, для которых Ӿ*= 𝔉*. Парой Локетта непустых классов Фиттинга 𝔉 и ℌ называют такую упорядоченную пару (𝔉,ℌ), для которой справедливо равенство 𝔉∩ℌ ͓ = (𝔉∩ℌ) ͓ . Если 𝔉 ⊆ ℌ и 𝔉 – класс Локетта, то 𝔉 удовлетворяет гипотезе Локетта в ℌ. В настоящей работе в универсуме 𝔖 всех конечных разрешимых групп описаны методы построения пар Локетта для случая, когда 𝔉 обобщенно локальный класс Фиттинга, и, в частности, для 𝔉 подтверждена гипотеза Локетта. For each nonempty Fitting class 𝔉, Lockett defined the smallest Fitting class 𝔉* containing 𝔉 such that (G ×H)𝔉 ͓ = G𝔉 ͓ × H𝔉 ͓ for all groups G and H and the Fitting class 𝔉 ͓ as the intersection of all nonempty Fitting classes Ӿ for which Ӿ*= 𝔉*. Lockett pair of nonempty Fitting classes 𝔉 and ℌ is an ordered pair (𝔉,ℌ) such that 𝔉∩ℌ ͓ = (𝔉∩ℌ) ͓ . If 𝔉 ⊆ ℌ and 𝔉 is a Lockett class, then 𝔉 is said to satisfy Lockett conjecture in ℌ. In the present paper, in the universe 𝔖 of all finite soluble groups, the methods for constructing Lockett pairs are described for the case when 𝔉 is a generalized local Fitting class, and, in particular, for 𝔉 confirmed Lockett conjecture.