К вопросу регуляризуемости краевой задачи типа наклонной производной для эллиптических систем второго порядка на плоскости

Abstract

Рассматривается множество 𝔐(2;2;2) эллиптических систем двух дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка на плоскости с положительным характеристическим определителем. Задача типа наклонной производной для системы из 𝔐(2;2;2) в ограниченной области Ω с гладкой границей 𝜕Ω состоит в отыскании решения по заданным граничным значениям производных по некасательным к 𝜕Ω направлениям 𝑙₁ и 𝑙₂. Известно, что множество 𝔐(2;2;2) имеет три компоненты гомотопической связности. Известно также, что если система из 𝔐(2;2;2) является системой ортогонального типа и 𝑙₁, 𝑙₂ – векторные поля, неколлинеарные в каждой точке границы, то задача типа наклонной производной является нетеровой в классической постановке (независимо от гомотопического класса системы). В настоящей статье для каждой компоненты 𝔐(2;2;2) приводится представитель, обладающий следующими свойствами: каждая компонента произвольного дважды непрерывно дифференцируемого решения является бигармонической функцией и краевая задача типа наклонной производной для этого представителя не является регуляризуемой. Следовательно, регуляризуемость задачи типа наклонной производной для рассматриваемых эллиптических систем не связана с гомотопическим классом системы. = The set 𝔐(2;2;2) of elliptic systems of two second-order partial differential equations on the plane with positive characteristic determinant is considered. An oblique derivative type boundary value problem for a system from 𝔐(2;2;2) in a bounded domain Ω with a smooth boundary 𝜕Ω is to find a solution for given boundary values of the derivatives along the directions 𝑙₁ and 𝑙₂ nontangential to 𝜕Ω. It is known that the set 𝔐(2;2;2) has three homotopy connected components. It is also known that if a system from 𝔐(2;2;2) is a system of orthogonal type and 𝑙₁, 𝑙₂ are vector fields that are noncollinear at each point of the boundary, then the oblique derivative boundary value problem is Fredholm in its classical formulation (regardless of the homotopy class of the system). In this paper, for each component of 𝔐(2;2;2), a representative is given that has the following properties: each component of an arbitrary twice continuously differentiable solution is a biharmonic function, and an oblique derivative type boundary value problem for this representative is not regularizable. Consequently, the regularizability of a problem of oblique derivative type boundary value problem for the elliptic systems under consideration is not related to the homotopy class of the system.