Об описании связанных состояний для частицы со спином 1 в кулоновском поле

Abstract

Исследуется система из 10 радиальных уравнений для векторной частицы в кулоновском поле. С использованием оператора пространственной четности система разбивается на две, по 4 и 6 уравнений каждая. Система из 4 уравнений решается в гипергеометрических функциях, приводя к известному спектру энергий. Комбинированием 6 уравнений удается получить для некоторых радиальных функций дифференциальные уравнения второго порядка. В частности, одно из уравнений оказывается уравнением Гойна, это позволило на основе выделения так называемых трансцендентных вырожденных функций Гойна получить условие квантования и соответствующий спектр энергий. Система 6 уравнений после исключения недифференциальных соотношений приведена к связанным уравнениям 1-го порядка для функций f₁,f₂,f₃,f₄  Выведены уравнения 4-го порядка для каждой из этих функций, описаны их сингулярности. Предложен метод описания проекций векторов решений – линий в 4-мерном пространстве {f₁(r),f₂(r),f₃(r),f₄(r)} на различные плоскости f₁=0.

The system of 10 radial equationsfor a spin 1 particle in the external Coulomb field, is studied. With the use of the space reflection operator, the system is split to subsystems, consisted of 4 and 6 equations respectively. The system of 4 equations is solved in terms of hypergeometric functions, which gives the known energy spectrum. Combining the 6-equation system, we derive several equations of the 2-nd order for some separate functions. On of them may be recognized as a confluent Heun equation. A series of bound states is constructed in terms of the so calledtranscendental confluent Heun functions, which provides us with solutions for the second class of bound states, with corresponding formula for energy levels. The subsystem of 6 is equations reduced to the system of the 1-st order equations for 4 functions f₁, i =1,2,3,4. We derive explicit form of a corresponding of the 4-th order equation for eachfunction. From four independent solutions of each 4-th order equation, only two solutions may be referred to series of bound states.