Об одной открытой проблеме теории модулярных подгрупп

Abstract

Пусть G – конечная группа. Подгруппа A группы G называется модулярной в G, если (i) 〈 X, A ∩ Z〉 = 〈 X, A 〉 ∩ Z для всех X ≤ G, Z ≤ G таких, что X ≤ Z, и (ii) 〈 А, Y ∩ Z〉 = 〈 А, Y〉 ∩ Z для всех Y ≤ G, Z ≤ G таких, что A ≤ Z. Получено описание конечных групп, в которых модулярность является транзитивным отношением, т. е. если A – модулярная подгруппа в K и K – модулярная подгруппа в G, то A – модулярная подгруппа в G. Полученный результат является решением одной из старых задач теории модулярных подгрупп, восходящей к работам А. Фриджерио (1974), И. Циммерман (1989).= Let G be a finite group. Then a subgroup A of group G is said to be modular in G if (i) 〈 X, A ∩ Z〉 = 〈 X, A 〉 ∩ Z for all X ≤ G, Z ≤ G such that X ≤ Z, and (ii) 〈 А, Y ∩ Z〉 = 〈 А, Y〉 ∩ Z for all Y ≤ G, Z ≤ G such that A ≤ Z. We obtain a description of finite groups in which modularity is a transitive relation, that is, if A is a modular subgroup of K and K is a modular subgroup of G, then A is a modular subgroup of G. The result obtained is a solution to one of the old problems in the theory of modular subgroups, which goes back to the works of A. Frigerio (1974), I. Zimmermann (1989).