AT 4(4,6,5) -граф не существует

Abstract

Недвудольный граф, для которого достигается равенство в фундаментальной границе, называется плотным. Граф является плотным тогда и только тогда, когда окрестность любой вершины в нем сильно регулярна с собственными значениями 𝑎₁, 𝑝 = 𝑏⁺, −𝑞 = 𝑏-. В этом случае все параметры 𝛤 выражаются через 𝑝, 𝑞, 𝑟 и мы назовем 𝛤 антиподальным плотным графом диаметра 4 с параметрами 𝑝, 𝑞, 𝑟 (𝐴𝑇4(𝑝, 𝑞, 𝑟)-графом). В 𝐴𝑇4(𝑞 − 2, 𝑞, 𝑟)-графе 𝛤 для любой вершины 𝑢 ∈ 𝛤 подграф 𝛤₂(𝑢) является дистанционно регулярным графом диаметра 4 с массивом пересечений {(𝑞 − 2)𝑞², (𝑞 − 1)³, (𝑟 − 1)𝑞 (2𝑞 − 2)⁄𝑟 , 1; 1, 𝑞 (2𝑞 − 2)⁄𝑟 , (𝑞 − 1)³, (𝑞 − 2)𝑞²}. В работе рассмотрены графы с 𝑞 = 5 и массивами пересечений {144,125,32,1; 1,8,125,144}, {204,175,48,1; 1,12,175,204}.