О конечных полу-π-специальных группах

Abstract

Конечная группа G называется π -специальной, если G=Оp₁ (G) х...х Оpn (G) x Oπ (G), где π = {p₁,..., pn}. Мы говорим, что конечная группа G является полу-π-специальной, если нормализатор любой ненормальной π -специальной подгруппы группы G является π-специальной. Доказано, что если G не является π-специальной группой, но NG (A) является π-специальным для каждой подгруппы A в G такой, что A является либо π -группой, либо p-группой для некоторой p∈π, тогда справедливы следующие утверждения: (i) G / F (G) является π -специальной группой. Следовательно, G имеет холлову π -подгруппу H и разрешимую холлову π -подгруппу E. (ii) Если G не является p-замкнутой для каждого p∈π, то: (1) H нормальна в G и E нильпотентна. (2) Оp₁ (G) х...х Оpn (G) x H является максимальной π -специальной подгруппой в G и каждая минимальная нормальная подгруппа группы G содержится в F (G). A finite group G is called π-special if G=Оp₁ (G) х...х Оpn (G) x Oπ (G), where π = {p₁,..., pn}.  We say that a finite group G is semi-π-special if the normalizer of every non-normal π -special subgroup of G is π -special. We prove that if G is not π -special but NG (A) is π -special for every subgroup A of G such that A is either a π -group or a p-group for some p∈π, then the following statements hold: (i) G / F(G)  is π-special. Hence G has a Hall π -subgroup H and a soluble Hall π-sub-group E. (ii) If G is not p-closed for each p∈π, then: (1) H is normal in G and E is nilpotent. (2) Оp₁ (G) х...х Оpn (G) x H is a maximal π -special subgroup of G and every minimal normal subgroup of G is contained in F(G).