Инъекторы и подгруппы Фишера конечных π -разрешимых групп

Abstract

Пусть F– множество Фиттинга группы G и L ≤ G. Тогда F называется множеством Фишера G, если из того, что L ∈ F, K ⊴ L  и H / K  – p-подгруппа L / K  для некоторого простого p, следует H ∈ F. Подгруппа F группы G называется F-подгруппой Фишера G, если выполняются следующие условия: (1) F ∈ F; (2) если F ≤ H ≤ G, то Н F ≤ F. Пусть π – некоторое непустое множество простых чисел. Множество Фиттинга F группы G называют π -насыщенным, если F= {H ≤ G : H / H F ∈ 𝔈π }, где 𝔈π – класс всех π -групп. В настоящей работе доказано, что если F– π -насыщенное множество Фишера π-разрешимой группы G, то подгруппа V группы G является F-инъектором G тогда и только тогда, когда V– F-подгруппа Фишера G, содержащая π -холлову подгруппу G. Let F be a Fitting set of a group G and L ≤ G. Then F is called a Fischer set of G, if L ∈ F, K ⊴ L  and H / K  is a p-subgroup of L / K  for some prime p, then H ∈ F. A subgroup F of a group G is said to be Fischer F-subgroup of G if the following conditions are hold: (1) F ∈ F; (2) if F ≤ H ≤ G, then H F ≤ F. Let π be some nonempty set of prime numbers. A Fitting set F of a group G is said to be π -saturated if F= {H ≤ G : H / H F ∈ 𝔈π }, where 𝔈π is the class of all π-groups. In this paper it is proved that if F is a π-saturated Fischer set of a π -soluble group G, then a subgroup V of a group G is F-injector of G if and only if V is a Fischer F-subgroup of G, which contains H all π -subgroup of G.