Дистанционно регулярный граф с массивом пересечений{60,52,10; 1,10,48} не существует

Abstract

Для дистанционно регулярного графа 𝛤 диаметра 3 граф 𝛤₂ будет сильно регулярным, если 𝛤 имеет собственное значение 𝑎₂ − 𝑐₃. Если дополнительно 𝛤 имеет собственное значение 𝜃₂ = 0, то 𝛤 имеет массив пересечений {𝑦𝑥 + 𝑦𝑧, 𝑦𝑧 − 𝑦, 𝑥𝑦 − 𝑥; 1, 𝑥 + 𝑧, 𝑦𝑧}. Дистанционно регулярный граф диаметра 3 с собственным значением 𝜃₁ = 𝑎₃ называется графом Шилла. Для графа Шилла число 𝑎 = 𝑎₃ делит 𝑘 и полагают 𝑏 = 𝑏(𝛤) = 𝑘/𝑎. Имеется 3 допустимых массива пересечений примитивных дистанционно регулярных графов диаметра 3 и степени 60. Все они отвечают графам Шилла. Граф с массивом пересечений {60,42,18; 1,6,40} имеет 𝑏 = 3. Граф с массивом пересечений {60,45,8; 1,12,50} принадлежит указанной серии для 𝑥 = 2, 𝑦 = 5, 𝑧 = 10 и не существует. Наконец, граф Шилла с массивом пересечений {60,52,10; 1,10,48} имеет 𝑏₂ = 3 и принадлежат серии {𝑏(𝑏 + 1)𝑠, (𝑏𝑠 + 𝑠 + 1)(𝑏 − 1), 𝑏𝑠; 1, 𝑏𝑠, (𝑏² − 1)𝑠} для 𝑏 = 5, 𝑠 = 2. В работе доказано, что граф с массивом пересечений {60,52,10; 1,10,48} не существует. = For a distance-regular graph 𝛤 of diameter 3, graph 𝛤₂ will be strongly regular if 𝛤 has an eigenvalue 𝑎₂ − 𝑐3. If additionally 𝛤 has an eigenvalue 𝜃₂ = 0, then 𝛤 has an intersection array {𝑦𝑥 + 𝑦𝑧, 𝑦𝑧 −𝑦, 𝑥𝑦 − 𝑥; 1, 𝑥 + 𝑧, 𝑦𝑧}. A distance-regular graph of diameter 3 with eigenvalue 𝜃₁ = 𝑎₃ is called a Schilla graph. For the Schilla graph, the number 𝑎 = 𝑎₃ divides k and we set 𝑏 = 𝑏(𝛤) = 𝑘/𝑎. There are 3 admissible intersection arrays of primitive distance-regular graphs of diameter 3 and degree 60. All of them correspond to Schilla graphs. The graph with intersection array {60,42,18; 1,6,40} has 𝑏 = 3. The graph with intersection array {60,45,8; 1,12,50} belongs to the specified series for 𝑥 = 2, 𝑦 = 5, 𝑧 = 10 and does not exist. Finally, the Schilla graph with intersection array {60,52,10; 1,10,48} has 𝑏₂ = 3 and belongs to the series {𝑏(𝑏 + 1)𝑠, (𝑏𝑠 + 𝑠 + 1)(𝑏 − 1), 𝑏𝑠; 1, 𝑏𝑠, (𝑏² − 1)𝑠} for 𝑏 = 5, 𝑠 = 2. The work proves that the graph with intersection array {60,52,10; 1,10,48} does not exist.