On the π -decomposable norm of a finite group

Abstract

Let G be a finite group and π ⊆ P. Then G is called: π -decomposable if G = Oπ (G) x Oπ΄(G) ; meta- π -decomposable if G is an extension of a π -decomposable group by a π -decomposable group. We use Nπ to denote the class of all finite π -decomposable groups. Let Nπ (G) be the intersection of the normalizers of the π -decomposable residuals of all subgroups of G, that is, Nπ (G) ∩ (H≤G) Nɢ (H Nπ). We say that Nπ (G) is the π -decomposable norm of G. We study the basic properties of the π -decomposable norm of G. In particular, we prove that G is meta-π -decomposable if and only if G / Nπ (G) is meta-π -decomposable. Пусть G является конечной группой и π ⊆ P. Тогда группа G называется: π -разложимой, если G = Oπ (G) x Oπ΄(G) ; мета-π -разложимой если G является расширением π -разложимой группы по π -разложимой группе. Мы используем Nπ для обозначения класса всех конечных π -разложимых групп. Пусть Nπ (G) пересечение нормализаторов π -разложимых радикалов подгрупп группы G : Nπ (G) ∩ (H≤G) Nɢ (H Nπ). Мы говорим, что Nπ (G) является π -разложимой нормой группы G. Мы изучаем базисные свойства π -разложимой норма группы G. В частности, мы доказали, что G является мета- π-разложимой тогда и только тогда, когда G / Nπ (G) является мета- π-разложимой группой.