Конечные группы с модулярной подгруппой Шмидта

Abstract

Пусть G конечная группа. Тогда G называется группой Шмидта, если G не является нильпотентной, а все ее собственные подгруппы нильпотентны. Подгруппа M группы G называется модулярной в G, если M является модулярным элементом (в смысле Куроша) решетки L (G) всех подгрупп группы G, т. е., (i) ‹ X, M ∩ Z › = ‹ X, M › ∩ Z для всех X ≤ G, Z ≤ G таких что X ≤ Z, (ii) ‹ M, Y ∩ Z › = ‹ M, Y › ∩ Z для всех Y ≤ G, Z ≤ G таких что M ≤ Z. В работе доказывается, что если каждая подгруппа Шмидта A группы G с A ≤ G΄ является модулярной в G, тогда G является разрешимой группой, и если каждая погруппа Шмидта группы G является модулярной в G, тогда коммутант G΄ является нильпотентой группой. Let G be a finite group. Then G is called a Schmidt group if G is not nilpotent but every proper subgroup of G is nilpotent. A subgroup M of G is called modular in G if M is a modular element (in the sense of Kurosh) of the lattice L (G) of all subgroups of G, that is, (i) ‹ X, M ∩ Z › = ‹ X, M › ∩ Z for all X ≤ G, Z ≤ G such that , X ≤ Z, and (ii) ‹ M, Y ∩ Z › = ‹ M, Y › ∩ Z for all Y ≤ G, Z ≤ G such that M ≤ Z. In this paper, we prove that if every Schmidt subgroup A of G with A ≤ G΄ is modular in G, then G is soluble, and if every Schmidt subgroup of G is modular in G, then the derived subgroup G΄ is nilpotent.