О конечной группе, факторизуемой B-группой и z-группой

Abstract

Конечная ненильпотентная группа называется B-группой, если в ее фактор-группе по подгруппе Фраттини все собственные подгруппы примарны. Конечная группа, у которой все силовские подгруппы циклические, называется z-группой. Исследуется конечная группа G, представимая в виде произведения ее B-подгруппы и z-подгруппы взаимно простых порядков. Устанавливается, что если группа G разрешима, то ее второй коммутант нильпотентен, производная длина ее фактор-группы по подгруппе Фраттини не превышает трех, а p-длина не больше двух. Если группа G простая, то G PSL p  2( ) m и все значения для pm указаны. = A finite non-nilpotent group is called a B-group if all proper subgroups of its quotient group by the Frattini subgroup are primary. A finite group whose Sylow subgroups are all cyclic is called a z-group. We study a finite group G that can be represented as a product of its B-subgroup and z-subgroup of coprime orders. For a solvable groups G, we prove that the second derived subgroup is nilpotent, the derivative length of the quotient group by the Frattini subgroup does not exceed three, and the p-length is at most two. If G is a simple group, then G is isomorphic to PSL ( ) 2 pm , and all possible values of pm are determined.