Стационарное распределение сетей с требованиями разного типа и экспоненциальным ограничением на время пребывания

Abstract

Рассматривается открытая сеть массового обслуживания с однолинейными узлами, в которой на время пребывания требований в узлах наложено экспоненциальное ограничение. В системе допускается наличие нескольких типов требований. По истечении допустимого времени пребывания требование мгновенно и независимо от других покидает текущий узел и переходит в другой в соответствии с заданной матрицей маршрутизации, которая, вообще говоря, отличается от матрицы маршрутизации для успешно обслуженных требований. Внешний поток поступающих требований предполагается простейшим. В работе доказывается существование единственного стационарного (предельного) распределения вероятностей состояний сети, имеющего форму произведения. Кроме того, устанавливается свойство нечувствительности: при фиксированных первых моментах (математических ожиданиях) распределений длительностей обслуживания стационарное распределение не зависит от конкретного вида этих распределений. = We consider an open queuing network with single-server nodes, exponential impatience (i. e., exponential time limits on customers’ sojourn times in nodes), and multiple customer classes. Upon expiration of their allowed sojourn time in a node, customers instantly and independently of others leave the node and are routed according to a routing matrix that, in general, differs from the routing matrix used for successfully served customers. External arrivals follow a Poisson process. We prove the existence and uniqueness of a stationary (limiting) distribution of the network state, which admits a product-form solution. Moreover, we establish the insensitivity property: provided the first moments (i. e., the means) of the service time distributions are fixed, the stationary distribution is independent of the specific forms of these distributions.