Сходимость рядов Фурье дифференцируемых функций многомерного p-адического аргумента

Abstract

В данной статье рассматривается сходимость рядов Фурье функций многомерного р-адического аргумента. Даны определения многомерной функции Малера и частичных сумм ряда Фурье функций многомерного р-адического аргумента. Для получения основного результата был доказан ряд вспомогательных теорем: вычислена норма m -ой производной одномерной и многомерной функций Малера, получен критерий принадлежности функции пространству m раз непрерывно-дифференцируемых функций Сᵐ (ℤⁿp) в терминах коэффициентов Малера. Доказана лемма о представлении коэффициентов и частичных сумм кратного ряда Фурье через коэффициенты и частичные суммы одномерного ряда. На основании данных результатов доказана теорема о том, что если f ∈ Сᵐ (ℤⁿp), тогда ряд Фурье функции сходится равномерно, если m ≥ n. Приведен пример функции f ∈ Cⁿ⁻¹ (ℤⁿp) с расходящимся рядом Фурье. This article discusses the convergence of the Fourier series for functions of the multidimensional p-adic argument. For this purpose we define the multidimensional Mahler function and partial sums of Fourier series for the functions of multidimensional p-adic argument. We calculate the norm of the m -th derivatives of multidimensional Mahler functions and prove the criterion of m times continuously differentiability in terms of Mahler coefficients. We represent coefficients and partial sums of multidimensional Fourier series in terms of coefficients and partial sums of one-dimensional Fourier series. The main result states that for positive integers m ≥ n the Fourier series for function Сᵐ (ℤⁿp) converges uniformly. An example of f ∈ Cⁿ⁻¹ (ℤⁿp) with divergent Fourier series is given.