Классическое и слабое решение первой смешанной задачи для полулинейного волнового уравнения со смешанной производной

Abstract

Для полулинейного волнового уравнения со смешанной производной, заданного в первом квадранте, рассматривается смешанная задача, в которой на пространственной полупрямой заданы условия Коши, а на временной – условия Дирихле. Оператор в уравнении представляет собой композицию двух операторов переноса с постоянными коэффициентами. Решение строится методом характеристик в неявном аналитическом виде как решение некоторых интегральных уравнений. Исследуется разрешимость этих уравнений, а также зависимость от начальных данных и гладкость их решений. Для рассматриваемой задачи доказана единственность решения и установлены условия существования ее классического решения. Построено слабое решение в случае недостаточно гладких данных задачи. = We consider a mixed problem for a semilinear wave equation with a mixed derivative in the first quadrant, where the Cauchy conditions are specified on the spatial half-line and the Dirichlet condition is specified on the time half-line. The operator in the equation is a composition of two transport operators with constant coefficients. We construct the solution using the method of characteristics as an implicit analytical form that solves some integral equations. We study the solvability of these equations, as well as their dependence on the source data and the smoothness of the solutions. The uniqueness of the solution is proved for the problem in question, and the conditions under which its classical solution exists are established. In the case of insufficiently smooth data, a mild solution is constructed.