О σℑ-субнормальных подгруппах конечных групп

Abstract

В данной работе: G – конечная группа; σ = {σi I i ϵ I ⊆ {0} ∪ ℕ} – некоторое разбиение множества всех простых чисел ℙ, где 0 ϵ I ; ℑ – класс конечных σ₀ -групп, который замкнут относительно расширений, эпиморфных образов и подгрупп и который содержит все конечные разрешимые σ₀ -группы. Группа G называется: (i) σℑ -примарной, если G является конечной σi -группой для некоторого i ϵ I и , G ϵ ℑ, если i = 0; (ii) σℑ -нильпотентной, если G является прямым произведением σℑ -первичных групп. Подгруппа A группы G называется σℑ -субнормальной в G, если существует цепь подгрупп A = A₀ ≤ A₁ ≤...≤ A₁ =G такая, что либо Ai-₁⊴ Ai, либо Ai / (Ai-₁)Ai является σℑ -примарной для всех i = 1,...,t В данной работе мы изучаем σℑ -нильпотентные группы, σℑ -субнормальные подгруппы и соотношения между σℑ -нильпотентностью и σℑ -субнормальностью в группах. В частности, мы доказываем, что группа G является σℑ -нильпотентной в том и только в том случае, когда все ее подгруппы σℑ -субнормальны. = In this paper: G is a finite group; σ = {σi I i ϵ I ⊆ {0} ∪ ℕ} is some partition of the set of all primes ℙ, where 0 ϵ I ; ℑ is a class of finite σ₀ -groups which is closed under extensions, epimorphic images and subgroups and which contains all finite soluble σ₀ -groups. A group G is said to be: (i) σℑ -primary provided G is a finite σi -group for some i ϵ I and G ϵ ℑ if i = 0; (ii) σℑ -nilpotent if G is the direct product of σℑ -primary groups. A subgroup A of G is said to be σℑ -subnormal in G if there is a subgroup chain A = A₀ ≤ A₁ ≤...≤ A₁ =G such that either Ai-₁⊴ Ai or Ai / (Ai-₁)Ai is σℑ -primary for all i = 1,...,t. In this paper, we study σℑ -nilpotent groups, σℑ -subnormal subgroups and relations between σℑ -nilpotency and σℑ -subnormality in the groups. In particular, we prove that a group G is σℑ -nilpotent if and only if all its subgroups are σℑ -subnormal.