Замечания о ранге конечной разрешимой группы

Abstract

Пусть G — конечная группа и σ = {σi|i ∈ I} — некоторое разбиение множества простых чисел P. Тогда G называется σ-нильпотентной, если G = A1 × · · · × Ar, где Ai — σi j -группа для некоторого ij = ij(Ai). Множество H подгрупп из G называется полным холловым σ-множеством в G, если каждый член 6= 1 из H является холловой σi-подгруппой в G для некоторого i ∈ I и H содержит в точности одну холлову σi-подгруппу из G для каждого такого i, что σi ∩ π(G) 6= ∅. Подгруппа A из G называется σ-квазинормальной или σ-перестановочной [1] в G, если G содержит такое полное холлово σ-множество H , что AHx = HxA для всех H ∈ H и всякого x ∈ G. Символ r(G) (соответственно rp(G)) обозначает ранг (соответственно p-ранг) G. Пусть H — полное холлово σ-множество из G. Доказано, что: (i) если G разрешима, r(H) ≤ r ∈ N для всех H ∈ H и каждая n-максимальная подгруппа из G (n > 1) σ-квазинормальна в G, то r(G) ≤ n + r − 2; (ii) если каждый член из H разрешим и каждая n-минимальная подгруппа из G σ-квазинормальна в G, то G разрешима и rp(G) ≤ n + rp(H) − 1 для всех H ∈ H и нечетных p ∈ π(H).