Критерий σ -разрешимости конечной группы

Abstract

На протяжении всей статьи все группы конечны и G всегда обозначает конечную группу. Более того, σ является некоторым разбиением множества всех простых чисел ℙ, т. е. σ = {σᵢ ∣ i∊I}, где ℙ = ⋃i∊I σᵢ и σᵢ ∩ σj = ⌀ для всех i ≠ j. Множество подгрупп ℋ группы G называется полным холловым σ -множеством G, если каждый член ≠ 1 множества ℋ является холловой σᵢ -подгруппой группы G для некоторого i и ℋ содержит ровно одну холлову σᵢ -подгруппу группы G для каждого i. Подгруппа A группы G называется: σ -перестановочной в G, если G обладает полным холловым σ -множеством ℋ таким, что AHˣ = Hˣ A для всех H ∊ ℋ и всех ; x ∊ G; σ -субнормальной в G, если в G имеется цепь подгрупп A = A₀ ≤ A₁ ≤ ...At = G такая, что либо Aᵢ₋₁ ⊴ Aᵢ, либо Aᵢ / (Aᵢ₋₁)Aᵢ является σ -примарной группой для всех i = 1,... ,t. Подгруппа A группы G является слабо σ -перестновочной в G, если в G имеются σ -перестановочная подгруппа S и σ -субнормальная подгруппа T такие, что G = AT и A ∩ T ≤ S ≤ A. В данной работе доказывается, что если в каждой максимальной цепи M₃ < M₂ < M₁ < M₀ = G группы G длины 3 хотя бы одна из подгрупп M₃, M₂, или M₁ является либо субмодулярной, либо слабо σ -перестановочной в G, то G σ -разрешима. Throughout this paper, all groups are finite and G always denotes a finite group. Moreover, σ is some partition of the set of all primes ℙ, that is, σ = {σᵢ ∣ i∊I}, where ℙ = ⋃i∊I σᵢ and σᵢ ∩ σj = ⌀ для всех i ≠ j. A set ℋ of subgroups of G is a complete Hall σ -set of G if every member ≠ 1 of ℋ is a Hall σᵢ -subgroup of G for some σᵢ∊σ and ℋ contains exactly one Hall σᵢ -subgroup of G for every σᵢ∊σ(G). A subgroup A of G is said to be: σ -permutable in G if G possesses a complete Hall σ -set ℋ such that AHˣ = Hˣ A for all H ∊ ℋ and all x ∊ G; σ -subnormal in G if there is a subgroup chain A = A₀ ≤ A₁ ≤ ...At = G such that cither Aᵢ₋₁ ⊴ Aᵢ, or Aᵢ / (Aᵢ₋₁)Aᵢ is σ -primary for all i = 1,..., n. A subgroup A of G is said to be weakly σ -permutable in G if there is a σ -permutable subgroup S and a σ -subnormal subgroup T of G such that G = AT and A ∩ T ≤ S ≤ A. In this paper it is proved that if in every maximal chain M₃ < M₂ < M₁ < M₀ = G of G of length 3 at least one of the subgroups M₃, M₂, or M₁ is either submodular or weakly σ -permutable in G, then G is σ -soluble.