О решениях двухточечной краевой задачи для одной неавтономной дифференциальной системы с квадратичной по фазовым переменным правой частью

Abstract

В работе рассматривается система вида ẋ = ax + by + a₂₀x² + а₁₁xy + а₀₂y², ẏ = -bх + ау + b₂₀x² + b₁₁xy + b₀₂y², где аij = аij(t), bij = bij(t) – непрерывные функции; a и b – постоянные. Для нее установлены условия, при которых эта система имеет линейную отражающую функцию Мироненко и, значит, линейное отображение за период ⎡−ω; ω] Полученные условия позволяют указать начальные данные решений двухточечной краевой задачи Ф( x(ω), y(ω), x(-ω), y(-ω)) = 0 и, значит, начальные данные 2ω -периодических решений рассматриваемой системы в том случае, когда ее коэффициенты 2ω -периодические непрерывные функции. In the paper we consider the system ẋ = ax + by + a₂₀x² + а₁₁xy + а₀₂y², ẏ = -bх + ау + b₂₀x² + b₁₁xy + b₀₂y², where аij = аij(t), bij = bij(t) are the continued functions; a and b are the constants. For this system we established conditions under which this system has a linear Mironenko reflecting function and therefore a linear mapping in period [−ω; ω]. The obtained conditions allow us point out the initial data of the solutions of the two-point boundary task Ф( x(ω), y(ω), x(-ω), y(-ω)) = 0 and therefore, the initial data of the 2ω -periodic solutions of the system (1) in the case when its coefficients are 2ω periodic continued functions.