О конечных группах, факторизуемых слабо перестановочными подгруппами

Abstract

Подгруппы 𝐴 и 𝐵 конечной группы 𝐺 будем называть слабо перестановочными (слабо взаимно перестановочными), если 𝐴 = 〈𝐴₁, 𝐴₂ 〉 и 𝐵 = 〈𝐵₁, 𝐵₂ 〉, где 𝐴₁, 𝐵₁ – субнормальные в 𝐺 подгруппы, а подгруппы 𝐴₂ и 𝐵₂ перестановочны (взаимно перестановочны). В настоящей работе показано, что многие известные результаты, связанные с конечными группами, факторизуемые взаимно перестановочными подгруппами, и их обобщениями, можно перенести на конечные группы, факторизуемые слабо взаимно перестановочными подгруппами. В частности, конечная группа 𝐺 = 𝐴𝐵 разрешима, если 𝐴 и 𝐵 – разрешимые слабо взаимно перестановочные подгруппы. Также устанавливается разрешимость группы 𝐺 = 𝐴𝐵 при условии, что подгруппы 𝐴 и 𝐵 разрешимы и каждая картерова подгруппа из 𝐴 слабо перестановочна с каждой картеровой подгруппой из 𝐵. = Subgroups 𝐴 and 𝐵 of a finite group 𝐺 are said to be weakly permutable (weakly mutually permutable), if 𝐴 = 〈𝐴₁, 𝐴₂〉 and 𝐵 = 〈𝐵₁, 𝐵₂〉, where 𝐴₁, 𝐵₁ are subnormal subgroups of 𝐺 and 𝐴₂ and 𝐵₂ are permutable (mutually permutable) subgroups. In this paper, we show that many known results related to finite factorized groups with mutually permutable factors and their generalizations can be transferred to finite groups factorized by weakly permutable subgroups. In particular, a finite group 𝐺 = 𝐴𝐵 is solvable if 𝐴 and 𝐵 are solvable weakly permutable subgroups. We also prove that a group 𝐺 = 𝐴𝐵 is solvable if 𝐴 and 𝐵 are solvable subgroups and each Carter subgroup of 𝐴 weakly permutes with each Carter subgroup of 𝐵.