О решетке локально нормальных классов Фиттинга

Abstract

Пусть X – непустой класс конечных групп. Класс Фиттинга F называется нормальным в X или локально нормальным, если F ⊆ X и для любой группы G ϵ X её F -радикал F -максимален в G. Пусть π – непустое множество простых чисел, Sπ – класс всех конечных разрешимых π -групп и S – класс всех конечных разрешимых групп. Тогда, в случае X= Sπ и X= S, X -нормальный класс Фиттинга F называют π -нормальным и нормальным соответственно. Если F и H классы Фиттинга, то пересечение всех классов Фиттинга, содержащих F∪H, называют решеточным объединением F∨H классов F и H. Множество всех π -нормальных классов Фиттинга, частично упорядоченное по включению, с операциями «∨» и «∧» («∧» – операция пересечения) образует решетку. В настоящей работе доказано, что множество всех π -нормальных классов Фиттинга, каждый из которых порожден не π -нормальным классом Фиттинга π -групп, является подрешеткой решетки всех π -нормальных классов Фиттинга. Let X be nonempty class of finite groups. A Fitting class F is called normal in X or locally normal if F ⊆ X and for every group G ϵ X its F -radical is F -maximal subgroup of G. Let π be nonempty set of primes, Sπ is the class of all finite and soluble π -groups and S is the class of all finite and soluble groups. If X=Sπ and X=S, then X -normal Fitting class F is called π -normal and normal respectively. Let F and H be Fitting classes. The lattice join F∨H of Fitting classes F and H is the intersection of all those Fitting classes which contain F∪H . The set of all π -normal Fitting classes, partially ordered by inclusion, together with the operations «∨» and «∧» («∧» – is an operation of intersection) forms a lattice. In this paper we prove that the set of all π -normal Fitting classes, each of them is generated by non π -normal Fitting class of π -groups, is the sublattice of the lattice of all π -normal Fitting classes.