Об одном классе подрешеток решетки подгрупп конечной группы

Abstract

В данной работе: G – конечная группа; σ = {σi | i ϵ I} – некоторое разбиение множества всех простых чисел ℙ; П ⊆ σ; σ(n) = {σi | σi ∩ π (n) ≠ ∅} (n – целое число) и σ(G) = σ(|G|). Группа G называется: (i) σ-примарной, если G является σi -группой для некоторого ; i ϵ I; (ii) σ-нильпотентной, если G – прямое произведение σ-примарных групп; П-группой, если σ (G) ⊆ П. Подгруппа A конечной группы G называется: (i) σ -субнормальной в G, если в G существует цепь подгрупп A =А₀ ≤ A₁ ≤ ... ≤ At = G такая, что либо Ai-₁ ⊴ Ai, либо Ai / (Ai-₁)Аi является σ-примарной группой для всех i = 1 ,…, t; (ii) холловской П-подгруппой G, если А является П-группой и σ(| G : A |) ∩ П = ∅. Мы говорим, что подгруппа H группы G является строго σ-субнормальной, если Hᴳ / Hɢ является σ-нильпотентной группой. В данной работе мы доказываем, что множество всех строго σ-субнормальных подгрупп, перестановочных с холловой П-подгруппой конечной группы G, образует подрешётку решётки всех подгрупп L(G) группы G. = In this paper: G is a finite group; σ = {σi | i ϵ I} is some partition of the set of all primes ℙ; П ⊆ σ; σ(n) = {σi | σi ∩ π (n) ≠ ∅} (n is an integer) and σ(G) = σ(|G|). A group G is said to be: (i) σ-primary provided G is a σi -group for some ; i ϵ I; (ii) σ-nilpotent if G is the direct product of σ-primary groups; a П-group if σ (G) ⊆ П. A subgroup A of a finte group G is said to be: (i) σ- subnormal in G if there is a subgroup chain A =А₀ ≤ A₁ ≤ ... ≤ At = G such that either Ai-₁ ⊴ Ai, либо Ai / (Ai-₁)Аi is σ-primary for all i = 1 ,…, t; (ii) a Hall П-subgroup of G if A is a П-group and σ(| G : A |) ∩ П = ∅ We say that a subgroup H of G is strongly σ-subnormal if Hᴳ / Hɢ is σ-nilpotent. In this paper, we prove that the set of all strongly σ-subnormal subgroups which permute with a Hall П-subgroup of a finite group G forms a sublattice of the lattice of all subgroups L(G) of G.